Problem jednak nie jest błahy i w konsekwencji prowadzi od matematyki i teorii algorytmów do zagadnień natury filozoficznej. W 1900 roku niemiecki matematyk David Hilbert przedstawił taki oto problem. Skoro matematyka to zbiór ściśle określonych reguł, czy nie dałoby się stworzyć uniwersalnego automatu (algorytmu, programu) opartego na tych regułach, który rozwiązywałby dowolne problemy matematyczne, np. udowadniał twierdzenia. Hilbert nie wierzył oczywiście, że automat taki uda się stworzyć z łatwością. Tezę zalgorytmizowania matematyki przedstawił jedynie jako teoretycznie możliwą do zrealizowania.

W roku 1930 wybitny matematyk austriacki Kurt Gödel, przedstawił pewne twierdzenie, które – w ogólnym zarysie – brzmi następująco: w ramach danego systemu reguł istnieją twierdzenia, których nie da się udowodnić przy pomocy tych reguł. Twierdzenie to zadało, oczywiście, cios tezie Hilberta. Skoro bowiem nie można udowodnić wszystkich twierdzeń matematycznych, nie istnieje żaden ogólny automat, który potrafiłby te twierdzenia udowadniać. Przyjrzyjmy się jednak bliżej temu niezwykłemu problemowi. Sformułujmy w tym celu twierdzenie, nazwijmy je G, brzmiące następująco: nie ma dowodu twierdzenia G. Oznacza to, że twierdzenie G głosi, że nie można udowodnić tego co samo głosi! Pozostaje zatem do rozstrzygnięcia, czy zdanie: „G głosi, że nie można udowodnić G” jest prawdziwe czy fałszywe. Innymi słowy, czy twierdzenie G mówi prawdę, czy nieprawdę.

Załóżmy chwilowo, że G jest fałszywe i że wobec tego – wbrew temu co usiłuje nam ono wmówić – istnieje dowód G. Oznaczałoby to, że G głosi nieprawdę i że w takim razie istnieje dowód tego, że takiego dowodu nie ma! To jest jawna sprzeczność. Musimy zatem odrzucić założenie, że G jest fałszywe. Nie mamy wobec tego wyboru i musimy uznać, że G jest prawdziwe. A to oznacza, że wiemy z całą pewnością o prawdziwości czegoś, czego nie potrafimy udowodnić! Jednak pytanie, skąd o tym wiemy, skoro nie potrafimy tego udowodnić, pozostaje otwarte.

Jaki jest związek twierdzenia G z tezą postawioną przez Hilberta. Otóż taki, że twierdzenie G obala tezę Hilberta. Uświadamia bowiem, że istnieją poprawne reguły matematyczne, których nie można udowodnić stosując jakiekolwiek reguły matematyczne (w ramach tego samego systemu). W konsekwencji zatem, nie można stworzyć ogólnego automatu, opartego na tych regułach, który potrafiłby rozwiązać każdy problem matematyczny.