Facebook Google+ Twitter

Pozycja materiału w rankingach:

19894 miejsce

Koła rysują fraktale

System kół, np. rowerowych, może rysować bardzo skomplikowane struktury geometryczne, w tym fraktalne. Poniżej opis i animacja działania takiego systemu.

Na obręczy danego koła zamontowane jest koło o promieniu 1/q razy mniejszym, które obraca się z prędkością q razy większą. W ten sposób można zbudować system złożony z n różnych kół (patrz poniższe animacje).


Na obręczy najmniejszego koła zamontowany jest rysik, który pozostawia ślad na płaszczyźnie.
Weźmy dla przykładu dwa koła i załóżmy q=2, tzn. że promień koła większego jest dwa razy większy od promienia koła mniejszego. Wówczas rysik, zamontowany na obręczy koła mniejszego, zakreśli tzw. kardioidę, która jest linią ograniczającą największy obszar fraktala Mandelbrota. Zobaczmy to na poniższych animacjach:
Animacja 2D
Animacja 3D

Jak widać, nie jest to figura zbyt skomplikowana. Dla porównania zobaczmy jak wyglądają główne kontury fraktala Mandelbrota:
Główne kontury fraktala Mandelbrota

Weźmy zatem bardziej złożony układ składający się z trzech kół i przyjmijmy q=2.5. Rysik, zamontowany na obręczy najmniejszego koła, zakreśli tym razem bardziej skomplikowaną figurę. Ponownie jest ona linią okresową: rysik zaczyna i skończy swoją drogę w tym samym punkcie. Zobaczmy to na poniższych animacjach:
Animacja 2D
Animacja 3D

Zbudujmy teraz system składający się z pięciu kół i q=2.5. Tym razem rysik, zamontowany na obręczy piątego koła, wykreśli bardzo skomplikowaną figurę fraktalną. Powiększone małe fragmenty tej figury przypominają bowiem fragmenty większe, a także całość. Można wykazać, że mają one podobne wymiary. Ze względu na ograniczoną liczbę kół jest to jednak nadal figura okresowa i jej fragmenty nie mogą być dowolnie małe. Zobaczmy to na poniższych animacjach:
Animacja 2D
Animacja 3D

Prawdziwy fraktal, tzn. taki, w którym jest nieskończenie wiele małych samopodobnych fragmentów, otrzymalibyśmy, gdyby kół było nieskończenie dużo. Tylko wówczas bowiem rysik mógłby rysować otoczenia dowolnie małych obszarów.

Wbrew pozorom, nawet te bardzo skomplikowane linie zapisuje się prostymi wzorami matematycznymi. Są one analogiczne do tzw. funkcji Weierstrassa i wyglądają następująco:

x= suma wyrażeń [1/q^k*sin(alfa*q^k)]
y= suma wyrażeń [1/q^k*cos(alfa*q^k)]

gdzie x i y, są to współrzędne położenia rysika na płaszczyźnie.
Liczba k zmienia się od k=0 do k=n-1, przy czym n to ilość kół, natomiast alfa jest kątem o jaki obróciło się największe koło.
__________
Animację komputerową wykonał dr inż. Damian Skupnik, Wydział Mechaniczny Technologiczny, Politechnika Śląska w Gliwicach

Wiadomości24 to serwis tworzony przez ludzi takich ja Ty. Wiesz więcej? Zarejestruj się i napisz swój materiał, dodaj zdjęcia, link, lub po prostu skomentuj. Tylko tu masz szansę, że przeczyta Cię milion!

Wybrane dla Ciebie:




Komentarze (0):

Jeśli chcesz dodawać komentarze, musisz się zalogować.

Najpopularniejsze

Copyright 2017 Wiadomosci24.pl

Korzystamy z cookies i local storage.

Bez zmiany ustawień pliki są zapisywane na urządzeniu. Więcej przeczytasz tutaj.